«

»

Studiul stabilitatii stalpilor cu o treapta de variatie a sectiunii transversale

Share

Studiul stabilitatii unor stalpi cu o treapta de variatie a sectiunii transversale, incastrati la partea inferioara si avand legaturi diferite la capatul superior, cu sau fara simple rezemari in punctul de variatie a sectiunii transversale, reprezinta o lucrare care intereseaza in egala masura arhitectii, proiectantii si constructorii de obiective de investitii. Rezolvarea ecuatiilor de stabilitate permite determinarea exacta a fortelor critice si a lungimilor de flambaj, mai ales in momentul de fata cand exista tendinta realizarii de structuri zvelte, prin exploatarea la maximum a capacitatii de rezistenta a materialelor. Tabelele cu valorile parametrilor critici de incarcare axiala permit analiza facila, mai ales in faza de predimensionare, a mai multor variante de sectiuni transversale pentru a obtine solutii economice, concomitent cu asigurarea conditiilor de rezistenta si stabilitate.

 

Proiectarea structurii de rezistenta a unei hale parter, avand stalpii cu sectiunea transversala variabila in trepte, necesita un calcul de stabilitate. In continuare, se prezinta studiul stabilitatii unor stalpi cu sectiunea transversala variabila in trepte, incastrati la partea inferioara si avand legaturi diferite la capatul superior, iar in punctul de variatie a sectiunii transversale pot aparea rezemari simple (fig. 1).

Considerarea de legaturi in aceste sectiuni este justificata prin existenta cailor de rulare sau a portalelor pentru contravantuirea halelor in sens longitudinal. Rezolvarea ecuatiilor de stabilitate permite determinarea exacta a fortelor critice si a lungimilor de flambaj [1], [2], [3], [6]. Pentru cazurile in care translatia pe orizontala nu este impiedicata, in lucrarea [4] sunt prezentate graficele de variatie a parametrilor critici de incarcare axiala.

Pentru fiecare dintre stalpii din figura 1, sunt prezentate ecuatia de stabilitate si, in tabel, valorile parametrilor de incarcare axiala, in functie de caracteristicile geometrice ale elementelor componente. Astfel, calculul de stabilitate devine usor abordabil si permite analiza mai multor variante constructive, in special in faza de predimensionare.

Ecuatiile de stabilitate obtinute aici, pentru deformarea in plan transversal halei, pot fi utilizate si pentru cazul in care este analizata pierderea de stabilitate in sens longitudinal constructiei, cu conditia introducerii caracteristicilor sectionale corespunzatoare.

Determinarea ecuatiilor de stabilitate

Cazul a (fig. 2)

Pentru determinarea ecuatiei de stabilitate se va utiliza ecuatia fibrei medii deformate.

• zona superioara (0 ú x2 ú l2) – momentul incovoietor in sectiunea curenta este Mx = P2y2, iar ecuatia diferentiala are forma

unde

Solutia ecuatiei (1) este:

iar rotirea are forma

• zona inferioara (l2 ú x1 ú l) – momentul incovoietor in sectiunea curenta este Mx = Py1 – H(x1 – l2), iar ecuatia diferentiala are forma

cu

Solutia ecuatiei diferentiale (4) este

si rotirea are forma

Constantele de integrare C1, C2, C3, C4, precum si H si D se determina din conditiile:

– pentru x2 = 0, y2 = 0

– pentru x1 = x2 = l2, y1 = y2 = Dsi y’2 = y’1

– pentru x1 = l1 + l2, y1 = Dsi y’1 = 0

Utilizand aceste conditii, se obtine un sistem de trei ecuatii omogene cu necunoscutele C3, C4 si D, a carui solutie rezulta din conditia ca determinantul coeficientilor necunoscutelor sa fie egal cu zero:

Dezvoltand determinantul se obtine urmatoarea ecuatie de stabilitate:

Rezolvand prin incercari ecuatia de stabilitate pentru diferite valori ale coeficientilor bsi gse obtin valorile parametrilor critici de incarcare axiala n1si n2inscrise in tabelul 1.

Lungimile de flambaj ale celor doua tronsoane ale stalpului se calculeaza cu relatia

unde

Conditia limita din STAS 10108/78 este m2ú 3 si este respectata pentru toate cazurile analizate. Situatia apropiata de limita

se obtine pentru varianta g = 0,20 si b = 0,30 pentru care n2 = 1,05. Pentru valori b = 0,30 rezulta m2> 3.

De asemenea, din analiza valorilor parametrilor de incarcare axiala din tabelul 1, rezulta ca, pe masura ce raportul b creste, parametrul n1 al zonei inferioare creste, iar parametrul n2 al zonei superioare scade. Toate aceste observatii servesc la adoptarea unor sectiuni adecvate (raportul             ) in conditiile in care lungimile tronsoanelor l2 si l1 sunt impuse de conditii tehnologice.

 

Cazul b (fig. 3)

Notatiile sunt identice cu cele de la cazul anterior.

• zona superioara (0 ú x2 ú l2) – momentul incovo­ietor in sectiunea curenta este Mx = Hx2 – P2y2, iar ecuatia diferentiala are forma

Solutia ecuatiei (9) este:

iar rotirea are forma

• zona inferioara (l2 ú x1 ú l) – momentul incovoietor in sectiunea curenta este Mx = Hx1 – P2y1, iar ecuatia diferentiala are forma

Solutia ecuatiei diferentiale (12) este

si rotirea are forma

Conditiile pentru determinarea constantelor de integrare sunt:

– pentru x2 = 0, y2 = 0

– pentru x1 = x2 = l2, y1 = y2 = y0 si y’2 = y’1

– pentru x1 = l, y1 = 0 si y’1 = 0

Utilizand aceste conditii rezulta, dupa unele calcule simple, un sistem de doua ecuatii omogene cu necunoscutele C3, C4. Solutia acestui sistem, care reprezinta ecuatia de stabilitate, se obtine din conditia ca deter­minantul coeficientilor necunoscutelor sa fie egal cu zero. Forma acestui determinant este:

Din dezvoltarea determinantului, se obtine forma finala a ecuatiei de stabilitate, si anume:

Rezolvand, ca si in cazul precedent, ecuatia de stabilitate, pentru diferite valori ale coeficientilor b si g rezulta valorile parametrilor critici de incarcare axiala n1si n2inscrise in tabelul 2.

Observatie: Din analiza valorilor cuprinse in tabelul 2, se constata ca, pentru toate cazurile analizate, coeficientul lungimii de flambaj respecta conditia m2< 3.

 

Cazul c (fig.4)

zona superioara (0 ú x2 ú l2) – momentul incovo­ietor in aceasta zona este Mx = P2y2 – Ms, iar ecuatia diferentiala are forma

Solutia ecuatiei diferentiale este:

iar rotirea devine

• zona inferioara (l2 ú x1 ú l) – momentul incovoietor este Mx = P2y1 – Ms – H(x1 – l2),  iar ecuatia diferentiala a fibrei medii deformate are forma

Solutia ecuatiei diferentiale (20) este

si rotirea este

Conditiile pentru determinarea constantelor sunt:

– pentru x2 = 0, y2 = 0 si y’2 = 0

– pentru x1 = x2 = l2, y1 = y2 = Dsi y’2 = y’1

– pentru x1 = l, y1 = Dsi y’1 = 0

Introducand aceste conditii in expresiile deplasarilor si rotirilor rezulta un sistem de trei ecuatii omogene cu necunoscutele        , C3 si C4.

Determinantul coeficientilor necunoscutelor repre­zinta ecuatia de stabilitate si are forma urmatoare:

Dezvoltand determinantul, rezulta forma uzuala a ecuatiei de stabilitate:

Rezolvand ecuatia de stabilitate (24) pentru valorile b si g utilizate si in cazurile precedente, rezulta parametrii critici n1si n2dati in tabelul 3.

Si in acest caz, conditia m2< 3 este indeplinita.

 

Cazul d (fig. 5)

zona superioara (0 ú x2 ú l2) – momentul incovo­ietor in aceasta zona este Mx = P2y2 – Hx2 – Ms, iar ecuatia diferentiala a fibrei medii deformate are forma

Solutia ecuatiei diferentiale este:

iar rotirea devine

• zona inferioara (l2 ú x1 ú l) – momentul incovoietor este Mx = P2y1 – Hx1 – Ms, iar ecuatia diferentiala a fibrei medii deformate are forma

Solutia ecuatiei diferentiale (28) este

si rotirea este

Conditiile pentru determinarea constantelor sunt:

– pentru x2 = 0, y2 = 0 si y’2 = 0

– pentru x1 = x2 = l2, y1 = y2 = y0 si y’2 = y’1

– pentru x1 = l, y1 = 0 si y’1 = 0

Cu aceste conditii se obtine un sistem de trei ecuatii omogene cu necunoscutele      ,  C3 si C4. Determinantul coeficientilor necunoscutelor este:

Prin dezvoltarea determinantului, se obtine forma uzuala a ecuatiei de stabilitate

Rezolvand ecuatia de stabilitate (32), pentru setul de valori b si g adoptat in cazurile precedente, se obtin parametrii critici prezentati in tabelul 4.

Si in acest caz, conditia m2< 3 este respectata pentru valorile n1si n2adoptate.

 

CONCLUZII

Rezolvarea ecuatiilor de stabilitate permite determinarea exacta a fortelor critice si a lungimilor de flambaj. Astfel se poate exploata la maximum capacitatea de rezistenta a materialelor si alegerea unor sectiuni economice optime, concomitent cu asigurarea conditiilor de rezistenta si stabilitate. Tabelele cu valorile parametrilor critici de incarcare axiala permit analiza rapida, mai ales in faza de predimensionare, a mai multor variante de sectiuni transversale. Utilizarea calculului exact in probleme de pierdere a stabilitatii elimina adoptarea unor valori aproximative pentru lungimile de flambaj al caror efect este greu de controlat.

 

BIBLIOGRAFIE

[1] Bazant, P.Z., Cedolin, L. – Stability of Structures. Oxford University Press, 1991.

[2] Banut, V. – Calculul neliniar al structurilor. Editura Tehnica, 1981.

[3] Banut, V. – Calculul de ordinul II si de stabilitate al elementelor si structurilor de rezistenta. Editura Conspres, 2005.

[4] Banut, V., Popescu, H. – Stabilitatea structurilor elastice. Editura Academiei, 1975.

[5] Banut, V., Teodorescu, M.E. – Same aspects regarding the stability of frames. The XXXth National Conference of Solid Mechanics MECSOL2006, pag. 223-228, Constanta, 15-16 septembrie 2006.

[6] Timoshenko, P.S., Gere, M.J. – Teoria stabilitatii elastice. Editura Tehnica, 1967.

…citeste articolul integral in Revista Constructiilor nr. 38 – iunie 2008

 

 

Autori:
prof. dr. ing.Valeriu BANUT,
conf. dr. ing. Mircea Eugen TEODORESCU – Universitatea Tehnica de Constructii Bucuresti



Daca v-a placut articolul de mai sus
abonati-va aici la newsletter-ul Revistei Constructiilor
pentru a primi, prin email, informatii de actualitate din aceeasi categorie!
Share

Permanent link to this article: http://www.revistaconstructiilor.eu/index.php/2008/06/30/studiul-stabilitatii-stalpilor-cu-o-treapta-de-variatie-a-sectiunii-transversale/

Lasă un răspuns

Adresa de email nu va fi publicata.