Tipuri de modelari pentru calcul practic si posibile erori la plansee cu grinzi si placi

In studiul de fata sunt analizate modelari posibile ale planseelor din beton armat pentru calcul si proiectare, in legatura cu evaluarea corecta a eforturilor de proiectare. Lucrarea are inceputuri teoretice si analitice, avand ca obiectiv determinarea latimii active de placa – utilizata in calculul practic al planseelor din beton armat.

Modelarile in elemente finite releva noi aspecte interesante, care trebuie atent si corect utilizate in proiectare. Analiza se refera numai la cazul grinzilor simplu rezemate. Se apreciaza ca extinderea studiului la alte cazuri (rezemari, structuri spatiale) nu este dificila si poate fi interesanta pentru practica de proiectare.

In cazul planseelor cu placi si grinzi determinarea latimii active de placa a condus la prima modelare pentru calculul practic al grinzii in conlucrare cu placa. Astazi sunt obisnuite si modelari de tipuri diferite ale acestor plansee, cu ajutorul elementelor finite de tip placa sau membrana pentru placa, respectiv tip bara, cu momente de incovoiere si torsiune.

Intotdeauna, modelarea realista a grinzii – din componenta planseului – in interactiune cu placa conduce si la aparitia efortului axial in sectiunile barei. Acest efort are, de regula, marime mare. Drept urmare, neglijarea, in calculul practic, a acestui efort, in baza ideii simpliste „armatura longitudinala din grinda se dimensioneaza la moment incovo­ietor“, poate conduce la subdimensionari riscante, inacceptabile. Acest lucru se analizeaza, mai jos, in cazul planseelor cu grinzi simplu rezemate.

Model pentru calcul analitic

Pentru a ne referi la teoria „latimii active de placa“ in cazul planseelor cu placi si grinzi (uzual: plansee din beton armat, platelaje de poduri etc.) ne folosim de editia din 1963 a cartii lui Karl Girkmann [1]. Grinda structurii studiate este simplu rezemata iar legatura grinda-placa este ilustrata in figura 1, reprodusa din [1]. A se observa similitudinea legaturii grinda-placa din [1], cu aceea dintr-una din modelarile corecte in MEF pentru aceeasi structura, aceasta din urma ilustrata in figura 3.

In cazul structurii studiate in [1], latimea placii reale este mare, teoretic infinita, se masoara pe axa y si se considera o saiba in stare plana de tensiuni. „Latimea activa de placa“ reprezinta latimea b_eff a aripilor, pentru care cele doua structuri au aceeasi curbura din incovoiere.

Etapele principale ale rezolvarii sunt:

– momentul incovoietor generat de incarcarile date – este dezvoltat intr-o serie de forma:

in care

– functia Airy, cu care se formuleaza starea plana de tensiuni in aripi, cu particularitatea de caz prin care efectele la y = ¥ sunt complet amortizate, are forma:

– dupa impunerea conditiilor la interfata aripi-nervura: v = 0 in aripi si, respectiv, egalitate e aripi – fibra corepunzatoare din nervura, se obtine expresia constantelor din F:

in care:

I – momentul de inertie axial al nervurii in raport cu axa principala orizontala;

s = H/2 – h_f/2;

m – coeficentul lui Poisson;

i – raza de giratie a sectiunii de nervura, relativa la I.

– efortul axial in sectiunea curenta a nervurii N(x), aparut ca urmare a interactiunii cu aripile, este obtinut cu expresia:

– curbura nervurii din structura reala este data de:

– curbura unei nervuri „echivalente“, cu aceeasi sectiune dar cu aripi de latime finita b_eff, va fi data de:

in care I_eq este momentul de inertie axial, in raport cu axa principala orizontala a sectiunii in T, cu aripi de latime finita b = b_eff,

– in final, „latimea activa de placa“ rezulta din egalitatea curburilor:

Termenul de „latime activa de placa“ este folosit, in continuare, in SR EN 1992-1-1, eurocod de pro­iectare pentru structuri din beton armat, in vigoare – versiunea romaneasca.

Teoria de mai sus este prezenta si in literatura romaneasca. De exemplu, in [8], in care nu se specifica autorul sau sursa, dar in Bibliografie este data cartea lui Girkmann, editia din 1956.

Model pentru analiza numerica in MEF (Metoda Elementelor Finite)

O modelare posibila, apropiata de realitate, este ilustrata in figura 3. Aici, aproximarile principale, in afara discretizarii in EF (elemente finite) a intregii structuri, se refera la legatura articulata dintre aripi si corpul grinzii, care inlocuieste legatura reala totala. Mai mult, aceasta legatura este discontinua, in lung, si cores­punde nodurilor de legatura intre EF. Pe de alta parte, se remarca pozitia rea­lista, pe inaltime, a acestei legaturi. Este o modelare realizabila, cu usurinta, cu principalele programe software utilizate astazi in proiec­tarea curenta [5,6,7].

Experiment numeric

Pentru cazul unei grinzi simplu rezemate, cu aripi pe ambele parti – structura din beton armat – sunt considerate urmatoarele date (fig. 3): L = 600 cm, h_f = 12 cm, B = 20 cm, H = 60 cm, m = 0,20, r = 10 kN/m (aplicat pe axa grinzii).

Elemente de modelare

•  In analiza grinzii cu aripi teoretic infinite, au fost adoptate:

– 5 termeni in seriile (1),

– EF-ite, de tip grinda, au 50 cm lungime iar cele de tip membrana, pentru modelarea aripilor, au 50 cm x 50 cm si discretizeaza aripi cu b = 12 m.

•  In analiza grinzii cu aripi de latime activa, determinata dupa [1], conform cu figura 2.a, au fost adoptate, cu utilizarea programului Robot [5]:

– b_eff = 0,191 x 600 = 114,6 cm;

– EF-ite de tip membrana – in aripi – cu dimensiunea 50 cm x 57,3 cm asa cum ilustreaza si figura 4.

In diferite modelari, au fost obti­nute rezultatele din Tabelul 1.

In legatura cu Tabelul 1 si datele din acesta:

•  modelarea de la pct.I.b, in FEM a grinzii cu aripi foarte late, este considerata cea mai apropiata de realitate (in situatia distantei mari intre grinzi). De aceea, marimea R_s in aceasta modelare este de refe­rinta (100% in ultima coloana);

•  Vt reprezinta volumul de tensiuni de intindere in situatia din figura 5.a;

•  R_s este calculat cu relatia:

•  pct.I.c & pct.II.c – corespunde cu neglijarea efortului axial N; de exemplu, in situatia unui proiectant care, superficial, isi zice „stiu ca grinzile sunt solicitate la moment incovoietor, deci iau dintre rezultate marimea acestuia si dimensionez, cu acesta, armatura longitudinala“, si se constata erori foarte periculoase, subdimensionari la jumatate.

Concluzii

•  Daca grinda de planseu este modelata la o grinda in T (pct. II.a) sau la o grinda de sectiune dreptunghiulara (pct. III, cu neglijarea conlucrarii cu placa), efortul de dimensionare al armaturii longitudinale este doar momentul incovoietor si, conform Tabelului 1 – in ultima coloana – se observa o usoara supradimensionare, acceptabila in proiectarea curenta.

•  Daca grinda de planseu este modelata in FEM, impreuna cu placa, atunci, alaturi de momentul incovoietor, in grinda apare si un efort axial de intindere de marime apreciabila. O dimensionare corecta a armaturii longitudinale trebuie sa ia in considerare ambele eforturi din sectiunea grinzii, atat momentul incovoietor M, cat si efortul axial N (vezi Tabelul 1, rand  I.b. si, respectiv, II.b.).

In aceasta modelare, neglijarea in proiectare a efortului axial, sa zicem din ratiunea simplista: „stiu ca grinzile sunt solicitate la moment incovoietor, deci iau dintre rezultate marimea acestuia si dimensionez, cu acesta, armatura longitudinala“, duce la erori, respectiv subdimensionari grave, asa cum se vede in  Tabelul 1, rand I.c. si, respectiv, II.c.

•  Daca planseul se modeleaza in EF dar aripile se cupleaza la grinda, la nivelul axei grinzii propriu-zise (nivelul lui Cb) – practica intalnita re­lativ des – atunci incarcarile verticale se transmit corect de la aripi la grinda, dar modelarea se indeparteaza de configuratia structurii reale, contributia aripilor in preluarea solicitarii de incovoiere fiind minimizata. In grinda efortul axial este foarte mic, practic neglijabil, si, de fapt, grinda se gaseste in situatia ilustrata la rand III, Tabelul 1.

• Apreciem utila si interesanta extinderea studiului pentru cazul in care planseul pe grinzi face parte dintr-o structura in cadre. In aceasta situatie, grinda planseului este incastrata in stalpii cadrului iar in sectiunile de incastrare vor aparea, de regula, din incarcari verticale, momente incovoietoare de semn schimbat fata de cele din camp. Daca in camp efortul axial din grinda este de intindere (toate eforturile de acelasi semn cu cele vazute mai sus), in zona incastrarilor, efortul axial din grinda va fi de compresiune. O interpretare interesanta: eforturile axiale care apar in riglele de cadru din beton armat, ca urmare a unei modelari realiste a placilor, au tendinta de egalizare a cantitatilor de armatura longitudinala in sectiunea camp, respectiv reazeme.

Avem cateva exemple numerice realizate care urmeaza sa fie analizate si interpretate.

• In modelarea Girkmann [1], latimea activa de placa este determinata pe baza egalitatii curburilor. Este interesanta incercarea de a face acest lucru pe baza egalizarii rezultantei tensiunilor de compresiune, admitand pe grinda cu aripi de latime finita (activa) tensiuni de compresiune constante la z = constant (fig. 1).

•  Pentru exemplul numeric ana­lizat, cu datele de la pct. 3, SR EN 1992-1-1 stabileste b_eff = 120 cm, marime in acord practic cu rezultatul Girkmann, b_eff = 115 cm.

Referinte

[1] Girkmann K., Flachentragwerke, Wien, Springer, 1963, pp.119-127;

[2] Beck A.T., da Silva Jr. C.R.A., Timoshenko versus Euler beam theory: Pitfalls of a deterministic approach, in: Structural Safety, 33, 1, 2011, pp.19-25;

[3] Popov E.P., Engineering Mechanics of Solids, N.J., Prentince, 1990;

[4] Bathe K-J., Finite Element Procedures, N.J., Prentince, 1996;

[5] Autodesk, Autodesk Robot Structural Analysis, San Rafael, CA, USA;

[6] Computers&Structures Inc., ETABS, Berkeley, CA, USA;

[7]  Adina R&D Inc., Adina, MA, USA;

[8] * * * Manual pentru calculul constructiilor, Bucuresti, Editura Tehnica, 1959, pag. 484-487.

Din AICPS Review nr. 1-2/2012

Autori:
prof. univ. dr. ing. Eugen Pantel,
drd. Mahmoud Bakero – Universitatea Tehnica din Cluj Napoca, Facultatea de Constructii

…citeste articolul integral in Revista Constructiilor nr. 101 – martie 2014, pag. 40