Ultimii mesteri – primii ingineri. Teoria care a schimbat meseria de constructor (II)

(Continuare din numarul 162, septembrie 2019)

Jacob Bernoulli (1654 – 1705), un binecunoscut matematician al vremii, este atras in dezvoltarea teoriei de incovoiere.

In timp ce Galilei si Mariotte s-au ocupat de problemele de capacitate portanta a grinzilor in consola, Bernoulli a studiat deformata lor.

Bernoulli a cunoscut descoperirile in domeniul materialelor elastice personal de la Hooke, cu care s-a intalnit in Anglia. Poate a aflat si de problema benzilor elastice supuse la incovoiere, abordata de Hooke, dar fara sa dea o solutie matematica.

Rezolvarea analitica a deformatei barelor incovoiate in domeniul elastic a necesitat calculul diferential. Acest calcul a fost dezvoltat simultan, si totodata in mod independent, de catre Isaac Newton si matematicianul de origine germana Gottfried Wilhelm Leibniz.

Jacob Bernoulli, impreuna cu fratele sau mai mic Johann (considerat cel mai bun matematician al vremii), au studiat articolul scris de Leibniz despre calculul diferential, publicat in 1684 in Acta Eruditorium, dupa care au fost primii care au utilizat aceste calcule in rezolvarea diferitelor probleme fizice.

Astfel, Jacob Bernoulli a ridicat problema deformatei elastice la inceputul anului 1691. Impreuna cu Johann se intereseaza de problema deformatei unei panze (vela de vapor) expuse la vant. Intr-o scrisoare, Jacob ii trimite fratelui sau ecuatia diferentiala sub forma d2x : dx = dy3 si ii cere sa deduca din ea o ecuatie algebrica pentru a exprima natura curbei formate de panza. Johann propune mai multe variante, pe care insa Jacob le respinge. Initial, Johann credea ca deformata panzei este o curba funiculara, dupa care a presupus ca forma panzei este identica cu o curba pe care ai capata-o daca aceasta ar fi umpluta cu apa.

Jacob a avut o alta viziune asupra problemei si la inceputul anului urmator a propus pentru raza de curbura relatia:

fara sa mentioneze nimic despre natura curbei care satisface ecuatia.

Johann, suspectand ca Jacob nu stie ce fel de curba este, ii raspunde: curba acestei ecuatii este o catenara. Insa Jacob a publicat descoperirea in Acta Eruditorium fara a mentiona ajutorul dat de fratele sau. Johann s-a suparat si ulterior relatia lor s-a deteriorat.

Preocuparea lui Jacob asupra grinzilor incovoiate a continuat, iar in 1695, in lucrarea intitulata Bernoulli‘s Explicationes, discuta rotirea relativa a doua sectiuni transversale invecinate: „sa studiem un element de lungime elementara ds notat cu ABFD. Daca sectiunea AB se roteste fata de punctul A, atunci modificarea lungimii fibrelor va fi proportionala cu distanta fata de punctul A.”

Utilizand modelul elastic a lui Hooke, in fibrele intinse se naste o forta:

Bernoulli a scris o ecuatie de moment al acestei forte fata de punctul A si a presupus ca acest moment va fi egal cu momentul dat de forta F fata de acelasi punct.

A tras concluzia ca raportul dintre lungimile elementare (cea initiala si cea din rotirea sectiunii) este egal cu raportul dintre inaltimea sectiunii transversale si raza de curbura a grinzii deformate:

Dupa care a obtinut relatia:

Cu aceasta relatie enunta: raza curburii in orice punct al axei deformate a grinzii este invers proportionala cu momentul incovoietor in acel punct.

Bernoulli a considerat gresit centrul de rotire al sectiunii la partea inferioara a grinzii, obtinand pentru constanta C o valoare gresita.

Totusi, pentru ca a fost primul care a presupus ca rotirea sectiunilor se intampla dupa planuri rigide, a facut un pas important in teoria grinzii incovoiate. Inginerii de astazi, daca aud de numele Bernoulli, il asociaza imediat cu „ipoteza sectiunilor plane”.

Antonie Parent (1666-1716) este urmatorul om de stiinta al carui nume, ca si activitatea, trebuie neaparat amintite.

Observand ca relatia lui Mariotte dedusa pentru o sectiune dreptunghiulara nu da rezultatele potrivite pentru sectiuni circulare, a renuntat la ipoteza dupa care variatia liniara a tensiunii porneste de la baza sectiunii. Propune pentru prima data luarea in considerare a tensiunii de compresiune si imparte tensiunile in doua triunghiuri egale.

Obtinand un rezultat egal cu jumatate din valoarea data de Mariotte, a fost primul care a stabilit corect capacitatea portanta a grinzii incovoiate.

Parent merge mai departe si afirma ca cedarea unui element in consola supus la incovoiere coincide cu ruperea primei fibre intinse, fibra aflata la partea superioara a sectiunii, moment in care axa neutra trece prin centrul sectiunii. Dupa ce prima fibra se rupe, pozitia axei neutre incepe sa coboare catre baza sectiunii, insa in stadiul ultim el afirma ca axa neutra nu va atinge niciodata baza sectiunii.

Parent este cel care scoate pentru prima data in evidenta faptul ca pozitia axei neutre intr-o sectiune sufera modificari la trecerea dintr-un stadiu de solicitare la altul.

Odata obtinuta relatia corecta pentru determinarea capacitatii grinzii incovoiate, am putea crede ca aceasta a fost folosita imediat in practica curenta.

Din pacate, Parent a fost nesigur de corectitudinea modelului sau, deoarece cu relatiile elaborate de el nu obtinea intotdeauna rezultate care sa corespunda cu rezultatele experimentale obtinute de Mariotte si altii. Pentru ca nu era clar nici pentru el efectul elasto-plastic al materialelor, nu a fost in stare sa-si apere modelul elaborat. De aceea lucrarile sale nu au fost cunoscute de contemporani.

Dupa 1700, oamenii de stiinta pun sub semnul intrebarii modelele prea simple utilizate pana atunci si incep sa ia in considerare imperfectiunile materialului, de care nu s-a ocupat nici Galileo si nici Mariotte.

Printre acesti oameni de stiinta a fost olandezul Pieter von Musshenbrock (1692-1761). In lucrarea Disertationes physical experimentalis et geometrical de magnete publicata in 1729 prezinta rezultatele masuratorilor facute la o serie mare de incercari experimentale. A masurat cu mare precizie forta de rupere si alungirea firelor supuse la tractiune, dar nu a formulat o lege constitutiva pentru materialul studiat, desi pe baza datelor inregistrate ar fi fost posibila.

Rezultatele obtinute de el confirma oarecum cele relatate de Leonardo Da Vinci cu 250 ani mai devreme, adica faptul ca raportul dintre forta de rupere si sectiunea firului nu este o constanta.

Musschenbrock pune un accent deosebit pe diferenta de comportament al solidelor atunci cand sunt supuse la tractiune, compresiune sau incovoiere.

Efectuand incercari de compresiune pe bare lungi din lemn cu sectiunea dreptunghiulara, a tras concluzia ca forta rezistenta paralela cu axa barei va fi invers proportionala cu patratul lungimii barei. Aceasta descoperire devanseaza cu cativa ani relatia data de Euler pentru flambajul barelor comprimate.

In urmatorii ani se fac numeroase incercari experimentale de incovoiere pe elemente din lemn, piatra, fier si sticla. Pe baza acestor incercari, Bernard Forest de Bélidor (1698-1761) intocmeste tabele cu dimensiunile necesare ale sectiunilor transversale, in functie de materialul ales, de rolul elementului, de geometria structurii si marimea incarcarilor. Tot Bélidor este cel care in cartile sale La science des ingénieurs dans la conduite des travaux de fortification et d‘architecture civile in anul 1729 si Dictionnaire portatif de l‘ingenieur in anul 1758, releva proprietatile calitative pentru mai multe materiale uzuale, precum caramida, lemn, nisip, puzzolana, mortar. Sunt tabelate greutatile materialelor (fier, cupru, lemn, alama, plumb, caramida, precum si pentru diferite tipuri de nisip si argila). Nu sunt insa date rezistentele pentru acestea.

Nepotul lui Jacob (baiatul lui Johann), Daniel Bernoulli atrage atentia marelui matematician Leonhard Euler (1707-1783) asupra mecanicii grinzilor si incearca sa-l convinga sa gaseasca o solutie pentru deformata grinzilor incovoiate. Euler a apreciat activitatea lui Jacob Bernoulli, asa ca a inceput cercetarea sa sprijinindu-se pe realizarea acestuia privind legatura intre curbura si momentul incovoietor. In primul rand a schimbat relatia pentru curbura a lui Bernoulli, folosind definitia:

dupa care a obtinut urmatoarea ecuatie dintre curbura si momentul incovoietor:

Integrand ecuatia, Euler a demonstrat ca daca deformatia consolei este mica, atunci pentru parametrul C se obtine urmatoarea relatie:

in care f este deformatia la varf a consolei.

Daca se neglijeaza termenul 3f din numarator, se obtine relatia cunoscuta:

Euler fiind matematician, nu s-a preocupat de continutul fizic al parametrului C si a propus sa se determine experimental valoarea lui.

Daca in loc de C folosim produsul EI, relatia devine cea stiuta:

Numele lui Euler, in randul inginerilor, este legat in primul rand de flambajul barelor comprimate.

Euler se ocupa cu problema flambajului intr-un apendice intitulat Curbele elastice, atasat unui tratat mai amplu despre calculul variatiilor, Treatise on Isoperimeters. Forta critica de compresiune o determina cu relatia:

in care L este lungimea, n un numar intreg care descrie modul de pierdere a formei, iar λ depinde de fixarea capetelor.

Nici aceasta relatie nu a fost acceptata imediat de constructori.

O explicatie clara asupra comportarii grinzilor a fost oferita de matematicianul, fizicianul si inginerul militar de origine franceza Charles Augustin de Coulomb (1736 – 1805).

In lucrarea Memorie, aparuta in anul 1776, Coulomb a prezentat doua teorii: una pentru lemn si una pentru piatra. In formularea acestor teorii, aproape sigur ca a ignorat lucrarile lui Parent, formulate cu 60 de ani inainte. A presupus ca, la ruperea unei grinzi de lemn, eforturile sunt proportionale cu distanta fata de axa neutra. Pentru piatra face presupunerea ca toate fibrele se rup la aceeasi tensiune, iar acest lucru face ca axa neutra sa se miste spre suprafata grinzii.

El face o sectiune verticala prin grinda in consola ACD si stabileste foarte clar conditiile de echilibru pe care trebuie sa le satisfaca tensiunile de pe sectiune. Pe portiunea CA, aflata deasupra axei neutre, vor actiona exclusiv tensiuni de intindere a caror rezultanta este forta QP, in timp ce pe portiunea CD vor actiona exclusiv tensiuni de compresiune avand ca rezultanta Q’P’. Rezultanta QP este descompusa in componentele QM si MP, unde QM (in terminologia moderna) reprezinta rezultanta tensiunilor tangentiale, iar MP rezultanta tensiunilor normale.

Pe tronsonul de grinda ADKL actioneaza forta Φ (greutatea atarnata la varful consolei) si se dezvolta reactiunile MP si MP’ (forte orizontale), respectiv QM si QM (forte verticale). Din moment ce tronsonul considerat se afla in echilibru, suma fortelor orizontale va fi zero, astfel ca rezultanta tensiunilor de intindere din volumul diagramei CAB va fi egala cu rezultanta tensiunilor de compresiune din volumul diagramei CeD. Apoi suma fortelor verticale QM si Q’M’ trebuie sa fie egala cu greutatea Φ.

Coulomb enunta foarte clar ca rezultantele (tensiunilor) tangentiale QM, Q’M au o influenta foarte mica asupra momentului de rupere, datorita faptului ca bratul de parghie nL al fortei Φ este mult mai mare decat inaltimea sectiunii transversale.

A realizat experimente si pe o grinda din piatra aflata in consola, aplicand o forta gravitationala concentrata cat mai aproape de sectiunea de incastrare, dorind sa obtina o solicitare la forfecare pura (in limitele posibilitatilor din vremea respectiva). Coulomb ajunge la urmatoarea concluzie: rezistenta la intindere a pietrei este foarte apropiata de rezistenta ei la forfecare.

Teoria Euler-Bernoulli a intrat in practica inginereasca odata cu dezvoltarea ei de catre francezul Claude Louis Navier (1785-1836).

Navier a rezolvat corect problema unei grinzi incovoiate. Cu toate ca, la inceputul carierei sale, Navier a dat dreptate spuselor lui Mariotte, ulterior el revine asupra acestor consideratii in lucrarea Résumé des Leçons données a l‘école des ponts et chaussées sur l‘application de la Mécanique a l‘établissement des constructions et des machines, care se ocupa cu grinzile incovoiate. Renunta la studiul exclusiv al grinzilor in consola si trece la o generalizare a fenomenului de incovoiere. Enunta principiile grinzilor incovoiate in domeniul elastic:

• o sectiune plana inainte de incovoiere, ramane plana si dupa incovoiere;
• in cazul unei sectiuni dreptunghiulare, axa neutra trece prin centrul geometric al acelei sectiuni.

Navier, in activitatea sa, s-a distins prin aplicabilitatea practica a relatiilor de calcul. Spre deosebire de predecesorii sai, Parent si Coulomb, munca si solutiile sale au fost recunoscute si folosite imediat in practica de proiectare. El este autorul relatiei de baza folosite in dimensionarea barelor incovoiate, adica:

Navier si-a terminat studiile universitare la École des Ponts et Chaussées. Dupa o scurta stagiatura in provincie, in anul 1807, la solicitarea Consiliului universitatii, revine in mediul universitar. Aici trebuia sa continue lucrarea didactica in domeniul podurilor si canalizarilor inceputa de unchiul sau, Emiland Gauthey (unul dintre cei mai buni ingineri francezi ai vremii). Pana in anul 1830 a ramas in École des Ponts et Chaussées ca sef al catedrei de Mecanica, ocupandu-se de educarea teoretica si practica a studentilor. Din 1831 se transfera la École Polytechnique, unde ocupa postul de sef al catedrei de Matematica, schimbandu-l pe Augustin Couchy. A fost membru al Academiei Franceze inca din anul 1824.

In perioada in care Navier a revenit dupa stagiatura in mediul universitar, americanul James Finley a inceput sa dezvolte conceptia unui pod suspendat pe lanturi de fier forjat. Dupa un prim pod de 21 m deschidere executat in Uniontown, Pennsylvania, pana in anul 1820 au fost construite peste 40 de poduri suspendate in SUA. Inovatiile si brevetele lui Finley au fost preluate si dezvoltate in Marea Britanie de un capitan de vapor pensionar, Samuel Brown, care a determinat prin incercari experimentale forma cea mai eficienta a cablului de suspendare.

Construirea acestor poduri a luat un avant deosebit, existand o lupta pentru cine poate executa poduri cu deschideri din ce in ce mai mari. In anul 1820 s-a finalizat podul Union deasupra raului Tweed, a carui deschidere a masurat 133 m.

Guvernul francez, dorind sa nu ramana in afara competitiei, hotaraste dezvoltarea tehnologiei de executie a podurilor suspendate. Il trimite pe Navier in Marea Britanie pentru a studia realizarile de acolo. In urma vizitei si a cercetarilor sale ulterioare a scris o lucrare importanta privind calculul podurilor suspendate, care a fost publicata in 1823.

In anul 1824 se lanseaza o licitatie pentru realizarea unui pod pe Sena, in vederea legarii a doua obiective importante din Paris: Domul Invalizilor (mormantul lui Napoleon) si bulevardul Champs Elysées. Navier a conceput un pod suspendat cu o deschidere de 155 m.

Podul a fost proiectat cu patru piloni cu diametrul de 3 m (doi pe un mal si doi pe celalalt) avand forma coloanelor egiptene. Distanta dintre pilonii de pe cele doua maluri a fost de 170 m. Cele doua lanturi de fier sustineau un tablier de 9,5 m latime, avand o greutate de 6.000 de tone. Capetele lanturilor au fost ancorate in ancoraje amplasate in subteran. Directia lanturilor a fost deviata in asa fel ca sa intre vertical in ancorele subterane.

O comisie de experti a verificat proiectul si cu toate ca avea anumite obiectiuni fata de modul de ancorare a lanturilor, l-au avizat favorabil, iar la inceputul anului 1824 au fost demarate lucrarile de construire. Pana in septembrie 1826 podul a fost aproape terminat. Pe parcursul executiei tablierului metalic au aparut unele fisuri in blocul de ancorare a lanturilor. In noaptea de 6 spre 7 septembrie, in apropierea ancorajului de pe malul drept, terenul a fost inundat in urma spargerii unei conducte de apa de la o statie de pompare.

Din acel moment, siguranta ancorei a fost pusa sub semnul intrebarii, provocand panica printre investitori. La inceput s-a hotarat consolidarea ancorelor, insa din considerente financiare (intre timp a murit principalul finantator), dar si in urma multor acuzatii aparute in presa la adresa lui Navier, podul a fost pana la urma demolat.

Raspunzand criticilor, Navier a scris numeroase rapoarte, aparand in mod categoric corectitudinea proiectului. Cu toate acestea, a devenit principalul vinovat pentru dezastrul creat.

Dupa cum s-a demonstrat ulterior, calculele facute de Navier au fost corecte, deci nu a fost raspunzator pentru pagubele create. Totusi, a fost afectat de acest insucces care pana la urma a pus capat carierei sale de proiectant de poduri, ramanand insa in continuare un universitar foarte apreciat.

Abia in anul 1890 s-a construit un alt pod pe locul podului demolat, mai modest din punct de vedere tehnic, care functioneaza si astazi (podul Alexandru al III-lea).

Parcurgand intreaga sa activitate, se poate afirma ca Navier a fost unul dintre cei mai importanti oameni de stiinta care au fondat stiinta mecanicii tehnice, pentru ca a reusit sa imbine stiinta cu practica inginereasca.

In dezvoltarea teoriei grinzii incovoiate, merite deosebite are si matematicianul francez Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (1797 – 1886). A facut o analiza amanuntita a ipotezelor enuntate de Bernoulli si Navier, aratand ca rotirea sectiunilor plane si aparitia unor tensiuni „curate” de intindere si compresiune este valabila numai in cazul incovoierii pure.

A aratat ca sectiunile se deformeaza si in sens transversal, conform cu efectul lui Poisson. Astfel a fost primul care a analizat actiunea simultana a momentului incovoietor si a fortei taietoare si a dezvoltat o teorie generala a incovoierii.

Cu activitatea sa putem considera terminata teoria clasica a incovoierii grinzilor.

Cu toate acestea, inca o perioada indelungata, proiectantii au fost sceptici in ceea ce priveste utilizarea metodelor matematice de dimensionare, ei fiind mai degraba increzatori in metodele experimentale de determinare a capacitatii portante.

Cei mai multi considerau ca utilizarea bruta a unor formule matematice este periculoasa si adesea conduce la erori costisitoare. Mai ales atunci cand unele formule gandite pentru o anumita structura se utilizeaza pentru alte tipuri de structuri, iar incorectitudinea rezultatelor se afla prea tarziu si nu pot fi evitate consecintele erorii.

Nu este de mirare comportamentul constructorilor de atunci, pentru ca pana la mijlocul secolului al XIX-lea constructiile au fost realizate din lemn, piatra, caramida sau fier forjat, in general pe baza unor reguli seculare bine precizate si sigure, bazate pe incercari experimentale si experienta.

Ideea utilizarii unor calcule numerice la o structura a fost luata in considerare pentru prima data ca urmare a solicitarii Papei Benedict al XIV-lea in anul 1742, catre trei matematicieni care intocmeau un raport pe seama fisurilor cupolei Bazilicii Sf. Petru din Roma. Momentul trebuie considerat ca fiind inceputul unei noi ere in istoria meseriei de constructor.

Dar numai aparitia otelului, in 1860, si apoi a betonului armat au adus o schimbare radicala in metodele dupa care se proiectau si executau constructiile. Structurile alcatuite din bare relativ subtiri din otel cu solicitari compuse incovoiere + compresiune au necesitat o alta abordare. Din acel moment, relatiile stabilite de Navier pentru incovoiere sau cele ale lui Euler privind flambajul barelor au devenit indispensabile.

Acceptarea calculelor matematice de catre constructori poate fi considerata adevaratul moment al aparitiei meseriei de inginer in constructii.

Inginerii de astazi, scoliti in universitati cu dotari deosebite (laboratoare ultramoderne, biblioteci digitalizate, programe de calcul si stiintifice etc.), cred in suprematia calculelor.

Multi au impresia ca, prin teorie, devenim mai inteligenti decat prin experienta practica, pentru ca teoreticianul cunoaste cauza unor fenomene, iar practicianul nu. Desigur, nu toti au fost si sunt de acord cu aceasta abordare a problemei.

Un caz celebru, consemnat de istorie, este cel al arhitectului francez Jean Mignot, care a criticat erorile constructorilor de catedrale (in 1398). Evident, nu a intarziat raspunsul constructorilor vremii, care suna asa: „Scientia este unum et ars est alind” (stiinta este una, iar arta de a construi este alta). Sigur, Mignot nu a putut lasa fara replica aceasta afirmatie plina de ironie si a raspuns la fel de taios: „Ars sine scientia nihil est” (practica este nula in lipsa teoriei).

Incontestabil, progresul in domeniul constructiilor are la baza acumularea cunostintelor teoretice si dezvoltarea unor tehnologii tot mai performante de executie. Totusi, nu putem sa nu observam cresterea rolului gandirii teoretice, prin expansiunea utilizarii calculatoarelor, in detrimentul experientei practice. In aceste conditii se justifica intrebarea daca mai este nevoie de experienta practica sau ajunge doar experienta virtuala.

Raspunsul se va afla poate intr-un viitor nu prea indepartat, insa un lucru este cert: cine nu cunoaste trecutul, nu poate intelege prezentul si nici viitorul nu il poate influenta.

BIBLIOGRAFIE

BENVENUTO F., An Introduction to the History of Structural Mechanics, Part. I: Statics and Resistance of Solids, Springer-Verlag, New York, 1991;

CANNONEA M., FRIEDLANDER S., Navier, Blow-up and collapse. Notices of the American Mathematical Society 50(1): pp 7-13, 2003;

DUGLAS R., A History of Mechanics. Dover Publications, INC. New York;

DUHEM P., The Origins of Statics, translated by Leneause, G. F. Vagliente and Wagner, G.H. in 1991. Kiuwer Academic Boston, MA;

GALILEO GALILEI, Dialoguri asupra stiintelor noi, Traducere prof. Victor Moian, ed. Academiei Republicii Populare Romane, 1961;

GIBBIN I., Science: A History 1543-2001, Penguin Books, London, 2003;

HEYMAN J, Coulomb’s memoir on Statics; An Essay in the History of Civil Engineering, Imperial College Press 516 Sherfield Building, Imperial College London SW72AZ;

Http:/www.ams.org/notices/200301/fea-friedlander. pdf (accessed September 25, 2012);

KRANAKIS. E., Constructing a Bridge: An Exploration of Engineering Culture, Design and Research in Nineteenth-Century France and America. Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 1997;

KUMBETLIAN G., MANDRESCU GEORGETA, Mecanica solidelor deformabile, Retrospectiva cronologica 1452-1952, Ed. ALMA — Craiova, 2005;

KURRER F. K., The History of the Structures From Arch Analysis to Computational Mecanics, Vol. 1, Ernest C. Sohn, 2008;

LEVIN R., The Elastic: A Mathematical History. Electrical Engineering and Computer Sciences University of California at Berkeley. Tehnical Report No UCB/EFCS-2008-103, August 23, 2008;

LUNIJ R. I., BYRNE P. I., Leonardo de Vinci’s Tensile Strength Tests; Implications for the Discovery of Engineering Mechanics. Civil Eng. And Env. Syst., Vol 00, pp 1-8, © 2000 OPA NV.;

TIMOSHENKO P. S., History of Strength of Materials, Dover Publication, Inc., New York, 1983;

TROITSKY, M. S. CABLE, Stayed Bridges. Theory and Design, Second Ed. S.1.: BSP Professional Books, 1988;

TRUESDELL C., Der Briefwechsel von Jacob Bernoulli, Chapter Mechanics, especially Elasticity, in the Correspondence of Jacob Bernoulli with Leibniz. Birkhäuser, 1987.

(Din cursul ,,Istoria tehnicii” tinut de prof. Zoltán Kiss la Facultatea de Constructii din Cluj Napoca)

Autor:
prof. univ. dr. ing. Zoltán Kiss – Director General PLAN31 RO SRL

…citeste articolul integral in Revista Constructiilor nr. 163 – octombrie 2019, pag. 16