Comportamentul mecanic al unui model analizat este influentat si limitat in mare masura de tipul de elemente finite folosite in analiza. Deplasarile, fortele, functiile de forma, efectele de ordinul al II-lea considerate in modelul structural respectiv influenteaza calitatea analizei structurale, rezultatele finale si metodele standard de verificare. Este foarte important sa se acorde o atentie sporita caracteristicilor elementelor finite inca din faza de modelare a structurii pentru a se evita comportamente mecanice neprevazute si pentru o analiza structurala cat mai precisa.
In general, in analiza structurala a unui model spatial, un element finit are 6 grade de libertate (GL) astfel: 3 translatii Ux, Uy, Uz si 3 rotiri øx, øy, øz definite in functie de sistemul local/global de coordonate al modelului. Aceste GL sunt aplicate barelor supuse la forta axiala, forfecare, moment incovoietor, torsiune sau orice combinatie intre aceste eforturi. Pe langa aceste 6 GL conventionale, exista programe de analiza structurala care introduc un al 7-lea GL care este special conceput pentru analiza la stabilitate structurala. Al 7-lea GL reprezinta, din punct de vedere matematic, prima derivata a rotirii in raport cu axa longitudinala (øx‘) si ia in considerare efectul de deplanare, care prezinta unele particularitati, in special in cazul barelor cu sectiuni transversale nesimetrice.
Aceasta lucrare prezinta influenta celui de-al 7-lea GL asupra rezultatelor analizei structurale, pusa in evidenta prin analiza unei grinzi cu sectiune transversala nesimetrica, simplu rezemata si supusa la incarcari liniare, uniform distribuite. In cazul sectiunilor nesimetrice, centrul de torsiune nu coincide cu centrul de greutate. Analiza este efectuata pe rand in doua programe de analiza structurala cu elemente finite avand 12, respectiv 14 grade GL. Rezultatele finale sunt comparate si discutate pentru fiecare studiu de caz in parte.
Comportamentul mecanic al unui model analizat este influentat si, in acelasi timp, limitat in mare masura de tipul elementelor finite folosite in analiza. Deplasarile, fortele, functiile de forma, efectele de ordinul al II-lea introduse in modelul structural respectiv influenteaza calitatea analizei structurale, rezultatele finale si metodele standard de verificare. Este foarte important sa se acorde atentie sporita caracteristicilor elementelor finite inca din faza de modelare a structurii. In acest fel utilizatorul poate constientiza care dintre comportamentele mecanice ale modelului raman neacoperite si va utiliza rezultatele obtinute ca atare.
In practica curenta exista diverse unelte pentru analiza structurala a cladirilor care vin in sprijinul inginerilor proiectanti de structuri. Programele de analiza structurala utilizate in practica curenta se bazeaza pe Metoda Elementului Finit (MEF) si efectueaza diverse tipuri de analiza (static liniara, static neliniara, vibratii, flambaj), utilizand diferite tipuri de elemente finite (EF). In general, programele de analiza structurala utilizeaza EF de tip bara cu sectiune constanta, EF de tip „shell” triunghiulare sau in forma de patrulater si/sau EF mixte. Precizia rezultatelor finale depinde de multi factori, printre care si densitatea retelei de discretizare. Majoritatea programelor de analiza structurala utilizeaza EF conventionale cu 12 GL (6 GL pentru un nod), insa exista si programe de analiza structurala care utilizeaza EF speciale cu 14 GL (7 GL pentru un nod), care includ efectul de deplanare si care sunt special concepute pentru analiza la stabilitate structurala a modelelor 3D.
Aceasta lucrare prezinta influenta elementelor finite cu 14 GL asupra preciziei rezultatelor analizei structurale a elementelor cu sectiune transversala nesimetrica, in cazul carora centrul de greutate nu coincide cu centrul de torsiune. Precizia elementelor finite cu 14 GL in analiza sectiunilor transversale nesimetrice si/sau a barelor cu pereti subtiri a mai fost studiata si in alte lucrari stiintifice. De exemplu, Papp a studiat diferenta dintre rezultatele obtinute prin formule analitice si cele obtinute prin analiza cu EF cu 14 GL in cazul unui stalp dublu articulat cu sectiune transversala nesimetrica de tip „C”, supus la flambaj prin incovoiere – rasucire si a unei grinzi simplu rezemate cu sectiune transversala simetrica de tip „I”, supusa la flambaj lateral.
Ziemian et al. au studiat precizia programelor care folosesc EF cu 14 GL in analiza la flambaj a barelor cu pereti subtiri cu sectiune nesimetrica. In aceasta lucrare, influenta EF cu 14 GL asupra preciziei rezultatelor analizei structurale este pusa in evidenta prin studiul unei grinzi simplu rezemate, cu sectiunea transversala laminata UPE, utilizata ca pana pentru acoperis. Analiza grinzii este efectuata, pe rand, intr-un program care utilizeaza EF conventionale (cu 12 GL), si respectiv intr-un program care utilizeaza EF cu 14 GL. In urmatoarele paragrafe sunt prezentate metodologia studiului, rezultatele finale si concluziile fiecarui studiu de caz.
Al 7-lea grad de libertate al elementului finit
In practica curenta, exista programe de analiza structurala care folosesc trei tipuri de elemente finite liniare: (i) elemente finite cu 6 GL pe nod (EF cu 12 GL), aplicate in analiza barelor supuse la forta axiala, forfecare, moment incovoietor, torsiune sau oricare combinatie intre aceste incarcari, (ii) elemente finite cu 7 GL pe nod (EF cu 14 GL), care includ efectul de deplanare si (iii) elemente finite aplicate doar barelor supuse la forta de intindere. In cele ce urmeaza sunt descrise doar elementele finite cu 7 GL pe nod.
Elementele finite cu 7 GL pe nod prezinta multe avantaje, in special la analiza elementelor structurale cu sectiune transversala nesimetrica si respectiv a barelor cu pereti subtiri, unde fenomenul de deplanare al sectiunii are o influenta semnificativa asupra rezultatelor finale.
In figura 1 sunt reprezentate deplasarile nodale ale elementului finit cu 7 GL pe nod pentru o sectiune „U”.
Primele 6 GL sunt deplasari conventionale: 3 translatii (Ux, Uy, Uz) si 3 rotiri (øx, øy, øz), fiecare fiind definite in raport cu sistemul local/global de coordonate al elementului structural analizat. Al 7-lea GL reprezinta, din punct de vedere mecanic, efectul de deplanare al sectiunii transversale, care este o consecinta a torsiunii grinzilor cu sectiune transversala nesimetrica si, respectiv, a barelor cu pereti subtiri. Din punct de vedere matematic, al 7-lea GL reprezinta prima derivata a rotirii in raport cu axa longitudinala øx‘.
In figura 2 este prezentat efectul de deplanare al unei sectiuni de tip „I” ale carei talpi se deformeaza de-a lungul sectiunii transversale. In acest caz, al 7-lea GL este considerat un cuplu de rotiri cu originile in talpile sectiunii „I”, directiile normale la talpi si sensurile de rotire opuse.
In general, elementele structurale din otel sunt relativ zvelte, astfel ca pot sa apara diverse moduri de pierdere a stabilitatii precum flambaj prin incovoiere, flambaj prin rasucire, flambaj lateral sau orice alta interactiune dintre acestea. Astfel, pe langa efectul de deplanare al sectiunii transversale, al 7-lea GL mai evalueaza si modurile de pierdere a stabilitatii globale. Acesta este un aspect important si avantajos al programelor de analiza structurala care folosesc EF cu 14 GL, deoarece contribuie la dimensionarea si verificarea elementelor structurale la flambaj global.
Deoarece precizia calculului tuturor modurilor de pierdere a stabilitatii depinde in mare masura de cel de-al 7-lea GL, este important ca efectul de deplanare sa fie luat in calcul inca din faza de modelare.
Metodologia de studiu a Elementelor Finite cu 12 GL, respectiv 14 GL
La realizarea studiului prezentat in aceasta lucrare, pentru modelarea exemplelor numerice s-au utilizat programe de analiza structurala care folosesc EF cu 12 GL, respectiv cu 14 GL. La exemplele numerice prezentate in continuare s-a considerat o grinda pentru pana de acoperis cu sectiune transversala nesimetrica laminata la cald de tip UPE 120. Grinda analizata este realizata din otel structural de calitate S 235 (rezistenta la curgere: fy = 235 N/mm2 si rezistenta ultima: fu = 360 N/mm2, conform EN 10025-2 [3]. Lungimea grinzii este L = 4.000 mm, iar distanta dintre panele de acoperis a fost considerata d = 1.500 mm. Pentru simplitatea comparatiilor grinda analizata a fost considerata simplu rezemata.
In analiza grinzii cu sectiune UPE 120 s-au considerat urmatoarele incarcari: (i) greutatea proprie a grinzii analizate Ggrinda, (ii) greutatea proprie a invelitorii dispuse peste grinda de tip pana Ginvelitoare si (iii) incarcarea din zapada Z. Greutatea proprie a grinzii analizate a fost calculata automat de catre cele doua programe de analiza structurala in care aceasta a fost modelata. Greutatea proprie a invelitorii a fost distribuita uniform liniar pe grinda si are valoarea Ginvelitoare = 0,6 kN/m. Incarcarea din zapada a fost considerata sk = 1,2 kN/m2, valoare specifica zonei Cluj-Napoca conform SR EN 1991-1-3 [4]. In programele de analiza structurala cu care s-a modelat grinda UPE 120, incarcarea din zapada a fost distribuita uniform liniar, iar valoarea acesteia este Z = 1,8 kN/m.
Atat in cazul utilizarii EF cu 12 GL, cat si in cazul EF cu 14 GL s-a efectuat analiza de ordinul I, analiza de ordinul II si, respectiv, analiza la flambaj. Incarcarile au fost dispuse pe axa longitudinala (linia de referinta) a grinzii.
Combinatiile de incarcari introduse in analiza au fost urmatoarele, conform SR EN 1990 [5]:
(i) in Starea Limita Ultima (SLU):
1,35 · (Ggrinda + Ginvelitoare) + 1,5 · Z
(ii) in Starea Limita de Serviciu (SLS):
1 · (Ggrinda + Ginvelitoare) + 1 · Z
Rezultatele obtinute in urma analizelor efectuate cu EF cu 12 GL, respectiv cu 14 GL, au fost centralizate si comparate. In continuare sunt prezentate, in detaliu, observatii legate de rezultatele obtinute pentru fiecare studiu de caz analizat.
Rezultate obtinute si discutii
In urma analizei efectuate in programul care foloseste EF cu 12 GL, respectiv in programul care foloseste EF cu 14 GL, grinda a fost verificata la Starea Limita Ultima conform EN 1993-1-1 [6].
In SLU s-au verificat urmatoarele: interactiunea forta axiala – incovoiere – forfecare, rezistenta la forta taietoare dupa axa Z in sectiunile de reazem, rezistenta la incovoiere dupa axa Y, respectiv Z in sectiunea de la mijlocul deschiderii, rezistenta la torsiune si stabilitatea globala.
In paragrafele urmatoare sunt prezentate observatiile legate de rezultatele finale ale analizei fiecarui tip de model.
- Modelul cu EF cu 12 GL
Programul care utilizeaza EF cu 12 GL a incadrat automat sectiunea grinzii analizate in clasa 1. In Tabelul 1 se observa ca in cazul interactiunii forta axiala – incovoiere, gradul de utilizare al grinzii este de 44,4%, rezultatul fiind asociat verificarii sectiunii de la mijlocul deschiderii. In cazul fortei taietoare dupa axa Z, gradul de utilizare este de 8,7%, verificarea la forta taietoare fiind efectuata in sectiunile de reazem. In sectiunea de la mijlocul deschiderii, in Tabelul 1, se poate remarca faptul ca in timp ce gradul de utilizare al sectiunii grinzii la incovoiere dupa axa Y este de 44,4%, in cazul incovoierii dupa axa Z, gradul de utilizare este de 0%, ceea ce corespunde situatiei cu momentul Mz,Ed = 0 kNm.
De asemenea, se observa ca gradul de utilizare in cazul interactiunii forta axiala – incovoiere (rezistenta globala) si, respectiv in cazul incovoierii dupa axa Y au aceeasi valoare, din cauza ca in interactiunea forta axiala – incovoiere a intrat doar solicitarea din moment incovoietor dupa axa Y, celelalte solicitari (forta axiala, moment incovoietor dupa axa Z) fiind nule.
In cazul analizei la stabilitate, programul care utilizeaza EF cu 12 GL calculeaza flambajul care se produce in planul sectiunii transversale. Acest lucru inseamna ca forma deformata a elementului ramane in planul sectiunii, iar sectiunea transversala nu se deplaneaza. De asemenea, programul porneste de la ipoteza ca incarcarile aplicate pe sectiunile transversale cu o axa de simetrie actioneaza in planul acestora de simetrie, adica in planul lor de incovoiere, astfel ca in cazul sectiunilor transversale cu geometrie arbitrara nu se poate realiza o analiza completa la stabilitate. O alta conditie pe care programul ce utilizeaza EF cu 12 GL o impune sectiunilor cu geometrie arbitrara este ca axele principale de inertie sa coincida cu axele locale Y si Z ale sectiunii, conditie care nu este indeplinita in anumite situatii, cum ar fi daca sectiunea cu geometrie arbitrara ar fi rotita cu un anumit unghi.
Profilul UPE analizat este o sectiune nesimetrica (centrul de greutate nu coincide cu centrul de rigiditate).
In programul de calcul care foloseste 12 GL, prin flambajul barelor se intelege flambaj intr-un plan (axa deformata a barei este o curba plana si sectiunea barei nu se roteste in jurul axei X locale). In cazul de fata, nu este respectata ipoteza impusa de programul de calcul, flambajul prin incovoiere – torsiune implicand si rotirea fata de axa longitudinala a barei. Astfel, programul care utilizeaza EF cu 6 GL nodale nu a efectuat verificari de rezistenta la flambaj prin incovoiere – rasucire. In consecinta, formula de verificare a stabilitatii globale 6.3.4 (4) b) din EN 1993-1-1 nu a putut fi aplicata comparativ.
In analiza la flambaj, in cazul sectiunii nesimetrice, programul a plecat de la ipoteza ca grinda sa fie supusa la incovoiere in planul de simetrie, ipoteza care in acest caz a fost neindeplinita. In cazul sectiunilor nesimetrice, programul care modeleaza cu EF cu 12 GL recomanda utilizatorului ca verificarile la flambaj lateral, flambaj prin rasucire si respectiv la efecte ale voalarii locale din forfecare sa fie facute prin calcul manual.
- Modelul cu EF cu 14 GL
La fel ca in cazul anterior, programul care utilizeaza EF cu 14 GL a incadrat automat sectiunea grinzii analizate in clasa 1.
Din Tabelul 2 se poate observa ca in cazul verificarii la incovoiere dupa axa Y, respectiv dupa axa Z, programul care modeleaza cu EF cu 14 GL a calculat urmatoarele grade de utilizare in sectiunea de la mijlocul deschiderii: (i) 44,8% in cazul incovoierii dupa axa Y (ii) 16,5% in cazul incovoierii dupa axa Z si (iii) 12,5% in cazul torsiunii. La incovoierea dupa axa Y, gradul de utilizare al sectiunii obtinut prin modelarea cu EF cu 14 GL este similar cu cel obtinut prin modelarea cu EF cu 12 GL. Gradul de utilizare la incovoierea dupa axa Z, in schimb, este nenul la modelul analizat cu EF cu 14 GL, spre deosebire de cel analizat cu EF cu 12 GL unde gradul de utilizare la acest tip de incovoiere era de 0%, ceea ce insemna ca valoarea lui era Mz,Ed = 0 kNm.
La modelul cu EF cu 14 GL, valoarea momentului incovoietor dupa axa Z era de Mz,Ed = 0,96 kNm, ceea ce inseamna ca EF cu 14 GL au surprins efectul de incovoiere oblica din analiza de ordinul II, reprezentand o diferenta de 16,5% in utilizare. De asemenea, la mijlocul deschiderii modelul cu EF cu 14 GL a surprins un efect de torsiune reprezentat printr-un grad de utilizare de 12,5%, valoare data de aparitia bimomentului care este uniform distribuit pe grinda si are valoare de B = 0,02 kNm2 la mijlocul deschiderii.
Spre deosebire de modelul cu EF cu 12 GL, programul de analiza structurala care utilizeaza EF cu 14 GL a calculat si rezistenta la torsiune in sectiunea de reazem, asa cum se observa in Tabelul 2. Gradul de solicitare la torsiune rezultat in urma verificarilor facute modelului cu EF cu 14 GL este de 72,8%, o valoare care influenteaza semnificativ dimensionarea sectiunilor nesimetrice.
In Tabelul 3 sunt evidentiate diferentele dintre modelarea cu EF cu 12 GL si, respectiv modelarea cu EF cu 14 GL. Pe langa diferentele legate de rezistenta la incovoiere dupa axa Z (in sectiunea de la mijlocul deschiderii) si respectiv la efectele de torsiune (in sectiunea de reazem si respectiv la mijlocul deschiderii), exista si diferente legate de interactiunea forta axiala – incovoiere.
In cazul modelului la care s-au utilizat EF cu 14 GL, gradul de utilizare in cazul interactiunii forta axiala – incovoiere este 74% la mijlocul deschiderii, deoarece acolo apar, pe langa momentul incovoietor dupa axa Y, momentul incovoietor dupa axa Z si bimomentul din efectul de torsiune.
In cazul sectiunilor de reazem, gradul de utilizare in cazul interactiunii forta axiala – incovoiere (rezistenta globala) are urmatoarele valori:
(i) intr-un reazem gradul de utilizare este de 76,8% si
(ii) in celalalt reazem gradul de utilizare este de 69,3%.
Diferenta de valori dintre cele doua reazeme este data de valorile diferite ale tensiunilor din torsiune. De asemenea, tensiunile din torsiune sunt cele care influenteaza pozitiile sectiunilor critice ale grinzii analizate.
La nivel de stabilitate globala, gradul maxim de utilizare al sectiunii analizate este de 114,2%, iar programul care utilizeaza in analiza EF cu 14 GL avertizeaza utilizatorul ca sectiunea transversala nu este adecvata conform normativului EN 1993-1-1.
Gradului de utilizare al sectiunii grinzii UPE 120 se datoreaza aparitiei momentului incovoietor dupa axa Z si a bimomentului in sectiunea de la mijlocul deschiderii.
Utilizarea maxima a sectiunii grinzii mai este data si de fenomenul de pierdere a stabilitatii laterale prin incovoiere-torsiune, fenomen pe care modelul cu EF cu 12 GL nu a reusit sa-l surprinda in analiza.
EF cu 14 GL in schimb surprind modurile globale de flambaj: flambaj prin incovoiere, flambaj prin rasucire, sau interactiunea dintre acestea. Astfel stabilitatea globala a modelului cu EF cu 14 GL a fost posibila aplicand formula 6.3.4 (4) b) din EN 1993-1-1.
Concluzii
In aceasta lucrare a fost prezentat modul in care EF cu 14 GL influenteaza rezultatele analizei in cazul sectiunilor transversale nesimetrice incarcate in plan vertical. Asa cum s-a observat din exemplele numerice prezentate, in cazul sectiunilor nesimetrice se produce efectul de torsiune prin aparitia tensiunilor din torsiune libera, din torsiune impiedicata si, respectiv, din bimoment. De asemenea, apar solicitari de incovoiere atat in planul incarcarilor, cat si in afara planului acesteia.
Implicatiile mecanice ale efectului de torsiune si de pierdere a stabilitatii laterale nu sunt surprinse cu precizie in analiza cu EF cu 12 GL, astfel ca utilizatorul programului care modeleaza cu EF cu 12 GL este pus in dificultate la analiza flambajului lateral si a flambajului prin rasucire. Tot din cauza efectelor de torsiune, in modelul cu EF cu 14 GL, gradul de utilizare in cazul rezistentei globale (interactiune forta axiala – incovoiere) este mai mare in sectiunile de reazem (76,8%) decat la mijlocul deschiderii (74%), astfel ca pozitia sectiunii critice difera intre modelul cu EF cu 12 GL (sectiunea critica este la mijlocul deschiderii) si modelul cu EF cu 14 GL (sectiunea critica este in reazem).
De asemenea, EF cu 12 GL nu surprind efectele incovoierii oblice in analiza de ordinul II. Astfel, din punct de vedere al comportamentului mecanic, in cazul sectiunilor transversale nesimetrice, EF cu 12 GL pot produce rezultate doar partial corecte care pot induce cu usurinta in eroare utilizatorul.
Profilul UPE studiat, supus la incarcare in plan vertical, prezinta fenomene de pierdere a stabilitatii globale, efecte surprinse cu succes de modelul cu EF avand 7 GL nodale, in care pot fi observate efectele torsiunii pe toata lungimea barei, in special la mijlocul deschiderii si in reazeme. In mod contrar, aceste efecte nu pot fi observate in cazul modelului cu EF avand 6 GL nodale, care poate duce la atragerea in capcana a utilizatorului.
Asa cum se poate constata pe un exemplu la prima vedere extrem de banal, rezultatele analizei cu EF avand 12 GL dau impresia unei rezerve confortabile de rezistenta, insa in termeni de stabilitate, elementul analizat este utilizat peste limitele admise. In consecinta, performantele aplicatiilor software utilizate in modelarea structurilor au o influenta semnificativa asupra riscurilor neconstientizate, inca din faza de proiectare, care pot avea implicatii nedorite asupra rezultatului final. Iar riscurile asumate cumulate cu cele neconstientizate pot avea efecte nefaste.
In vederea reducerii acestor riscuri, autorii recomanda atentie sporita la modelarea cu EF cu 12 GL in cazul structurilor cu sectiuni nesimetrice si al celor sensibile la efecte de ordinul II, care pot accentua aparitia fenomenelor de instabilitate globala.
Bibliografie
[1] Papp, F., 14 DOF beam-column element in practical analysis and design of steel structures;
[2] Ziemian, R. D., Liu, S.W., Chan, S. L. (2018). System of members with thin-walled nonsymmetric sections – A contribution to the theory and analysis software, Eight International Conference on THIN-WALLED STRUCTURES – ICTWS 2018, Lisbon, Portugal, July 24-27, 2018;
[3] European Committee for Standardization (2004). Hot rolled products of structural steels – Technical delivery conditions for non-alloy structural steels. EN 10025-2;
[4] ASRO, Standard roman (2005). Eurocod 1: Actiuni asupra structurilor. Partea 1-3: Actiuni generale – incarcari date de zapada. SR EN 1991-1-3;
[5] ASRO, Standard roman (2004). Eurocod: Bazele proiectarii structurilor. SR EN 1990;
[6] European Committee for standardization (2005). Eurocode 3: Design of steel structures Part 1-1: General rules and rules for buildings. EN 1993-1-1.
Autori:
Zsolt NAGY, Andrea DEZÖ, – Universitatea Tehnica Cluj, Facultatea de Constructii, Departamentul de Structuri
Barnabás LÖRINCZ, Adina-Ana MURESAN – Gordias SRL
…citeste articolul integral in Revista Constructiilor nr. 169 – mai 2020, pag. 42
Daca v-a placut articolul de mai sus
abonati-va aici la newsletter-ul Revistei Constructiilor
pentru a primi, prin email, informatii de actualitate din aceeasi categorie!
Lasă un răspuns